三角形内心向量公式推导ppt（三角形内心向量公式）

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1、满足a×向量oA+b×向量oB+c×向量oC就行，abc为变长~

2、用[AB]表示向量AB，c表示AB的长，下同.[OA]=[OB]+[BA],∵a[OA]+b[OB]+c[OC]=0,∴[OA]={-b[OB]-c[OC]}/a=[OB]+[BA],∴(a+b)[OB]+c[OC]+a[BA]=0,(a+b){[OC]+[BC]}+[OC]+a[BA]=0,(a+b+c)[OC]+(a+b)[BC]+a[BA]=0,(a+b+c)[OC]-a[AC]+b[CB]=0,[OC]={a[AC]-b[CB]}/(a+b+c),[OC]*[AC]={ab^2-b[CB]*[[AC]}/(a+b+c)=ab^2(1+cos∠C)/(a+b+c),∴cos∠OCA=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)},同理得[OC]*[BC]=ba^2(1+cos∠C)/(a+b+c),∴cos∠OCB=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)},∴cos∠OCA=cos∠OCB,∴OC平分∠C,同理可证其他两式,∴O为内心.还有一种解法如下（抄来的）：记∠BAC的平分线与BC交于P，则[BP]=（c/（b+c））[BC]=（c/（b+c））{[OC]-[OB]}，[AP]=[AB]+[BP]=[OB]-[OA]=[BP]=[OB]-[OA]+（c/（b+c））{[OC]-[OB]}=（b/（b+c））[OB]+（c/（b+c））[OC]-[OA]=（b[OB]+c[OC]）/（b+c）-[OA]=-（a+b+c）[OA]/（b+c），∴[AP]与[OA]共线，O在AP上，同理，O在∠ABC，∠ACB平分线上，∴O为内心。

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