矩阵的乘法运算法则证明（矩阵的乘法运算法则）

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1、

2、矩阵的运算

3、矩阵的加法 ： 如果 是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说 ），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即 ）， 的元素为 和 对应元素的和，即： 。

4、给定矩阵 ，我们定义其负矩阵 为： 。这样我们可以定义同型矩阵 的减法为： 。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列 运算律：

5、（ 1）交换律： ；

6、（ 2）结合律： ；

7、（ 3）存在零元： ；

8、（ 4）存在负元： 。

9、2 、数与矩阵的乘法 ：

10、设 为一个数， ，则定义 与 的乘积 仍为 中的一个矩阵， 中的元素就是用数 乘 中对应的元素的道德，即 。由定义可知： 。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：

11、（1 ） ；

12、（2 ） ；

13、（3 ） ；

14、（4 ） 。

15、3 、矩阵的乘法：

16、设 为 距阵， 为 距阵，则矩阵 可以左乘矩阵 （注意：距阵 德列数等与矩阵 的行数），所得的积为一个 距阵 ，即 ，其中 ，并且 。

17、据真的乘法满足下列 运算律（假定下面的运算均有意义）：

18、（ 1）结合律： ；

19、（ 2）左分配律： ；

20、（ 3）右分配律： ；

21、（ 4）数与矩阵乘法的结合律： ；

22、（ 5）单位元的存在性： 。

23、若 为 阶方阵，则对任意正整数 ，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合律，我们有： ， 。

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